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一道关于下电梯的概率问题坑了不少人,你能搞明白吗?

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浏览:- 发布日期:2020-03-18 15:21:34【

今天通过这样的方式与大家分享一道有趣的概率题目.这道题目看似来挺简单,却也实实在在坑了不少人.

首先来看一下这个题目.

上面这个题目是一位老师在一个群里发出来,供大家交流讨论的.当时好几位老师各执观点,不亦乐乎.

过了几天,有一个学生给我发来一个截图,貌似是某个搜题软件上的截图.

我一看,这个问题与之前的问题几乎如出一辙.所以我给了她一些提示,希望她能看出问题的本质.可能是提示的不到位,也可能是学生思路一时没转过弯,当时说还是不明白.看起来这个题目真的不是那么一眼就能看明白的.

这两个到底有什么玄机呢?

由于这两个题的本质上是一样的,所以我针对第一个老师发出来的填空题做一点分析.

初看起来,就是一道很普通的填空题,求一个随机变量的概率,无论是背景还是条件都不复杂.但是不少人在思考过程中却深陷泥潭而出不来,越想越觉得扑朔迷离,头绪万千.

如果仔细研究,会发现这个题目涉及很多概率论中的基本概念,非常有嚼头。我喜欢把简单问题复杂化,如果读者希望直接看到问题的答案,可以跳过下面这部分,直接看文末答案即可。


带你入坑


错解:我们先来看一种很容易想到的思路:求在最后一层有4个人下电梯的概率,那就意味着有1个人在第18层或者19层下了电梯。

1.png

这样思考貌似没什么问题,考虑到了每一层的可能情况,再根据分步乘法计数原理对每一层的概率相乘,最后相加得到最终结果。

实际上这样的解法不仅不对,而且离正确思路相去甚远,到底犯了什么错误呢?我们一起来辨析一下:

2.png

所以你会意识到,最初的错解中,这样的解法是存在问题的。


坑里反思


(1)既然上面的解法存在错误,那么错误的本质是什么?

上面的错解实际上是认为这个人在三层电梯中的每一次下电梯是相互独立

的。实际上三个事件并不独立。独立性要求随机事件之间不能相互影响。但是在第2层下了电梯就不可能在第3层下电梯,所以随机事件之间不是独立的。

(2)抽签的公平性与条件概率

这让我想起一道经典的题目,是关于抽签公平性的:有3个人抽取1个获奖名额,三个抽签中只有一个是获奖的,采用轮流不放抽奖的方式,试问最后一个人抽奖是不是获奖概率最低?

可见抽签无论先后,中奖概率都是一样的。当然这是指没有黑幕的情况下。

在概率论中,这种前一种情况会影响后一种情况的概率,叫做条件概率。只有当条件概率等于无条件概率时,随机事件才是独立的。而无论是出电梯还是抽签,显然都不是独立的。


带你出坑


问题的正解 这个题目如果从条件概率的角度去解,也会比较烧脑。实际上高考题在考查求概率的时候不会很复杂。

不妨这样思考:

还能怎么解?

这个题目的原型是2006年重庆市的高考题,原题是这样的: 

从这个题目中,可以为我们的复习提供哪些启示呢?

1.在数学复习中,尤其是概率统计中一定要重视基本原理的理解和思考,要对重要的模型有全面的理解,并能把模型灵活应用在其他问题上。

2.以前一直有学生说不喜欢旧题,其实旧题也有巨大的价值可以挖掘。当然学生的精力和能力都有限,这就需要辅导教师做好功课,才能把最好的内容呈现给学生。

3.高考备考既要看到未来的趋势,也要尊重过去的传统,尤其是一些经典的问题,值得多思考多琢磨。

最后希望这篇仓促间写成的小文能给大家有用得启发,之前问题的那位同学不知道能否看到,希望她已经很好的理解了这么题目,并可以拿到该拿的分数。

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